Bachelorprojecten

  1. Sterk reguliere graffen: Sterk reguliere graffen zijn niet alleen mooi op zichzelf, maar ook zeer nuttig in de groepen- en codetheorie. In deze scriptie bestudeer je eerst enkele eigenschappen van sterk reguliere graffen. De bewijstechnieken steunen vooral op lineaire algebra. Daarna pas je de theorie toe op enkele beroemde voorbeelden zoals de Schläfli graf en de Hoffman-Singleton graf. Als je wil, mag je deze graffen ook tekenen. Voorkennis: Lineaire algebra en meetkunde uit de 1BA. Referentie: Godsil--Royle.
  2. Quadratic Sets: Dit is een synthetische versie van projectieve kwadrieken. De scriptie bestaat uit een studie van quadratic sets in het boek van Beutelspacher en Rosenbaum en een vergelijking met de klassieke projectieve kwadrieken. Voorkennis: Affiene en Projectieve meetkunde uit de 2BA. Referentie: Beutelspacher--Rosenbaum.
  3. Coxetergroepen: Dit zijn groepen die uit de meetkunde stammen. Voorbeelden zijn de automorfismengroepen van de regelmatige polyëders die kunnen voortgebracht worden door spiegelingen. Abstract is een Coxtergroep een groep voortgebracht door involuties met bepaalde relaties. In deze scriptie bestudeer je de(abstracte) Coxetergroepen en de meetkunde die ermee samengaat. Dit onderwerp heeft verbanden met de kristallografie die ook kunnen bekeken worden. Voorkennis: Groepentheorie en lineaire algebra. Referentiewerk: Buekenhout--Cohen, nota's St Andrews.
  4. Incidentiemeetkunde en diagrammen: Een korte inleiding tot de incidentiemeekunde en diagrammen. Je werkt enkele voorbeelden uit in de projectieve meetkunde en in andere meetkunden. Indien je interesse hebt voor groepen, kunnen we ook kijken naar de gebouwentheorie, vertrekkend van de projectieve meetkunde. Voorkennis: Affiene en Projectieve meetkunde van 2BA en eventueel groepentheorie. Referentie: Handbook, Chapter 3.
  5. Klein kwadrieken: Je definieert en bestudeert algemeen de zogenaamde "Klein kwadriek". Deze kwadriek geeft een nuttige voorstelling van de 3-dimensionale projectieve ruimte op een hyperbolische kwadriek in een 5-dimensionale projectieve ruimte. Eerst bekijk je het voorbeeld in PG(5,2) en dan ga je algemeen werken. In deze scriptie maak je kennis met Plücker coördinatenen uitwendige algebra. Voorkennis: Algebra en Affiene en Projectieve meetkunde. Referentie: Taylor.
  6. Algebraïsche graffentheorie: Hier leer je methoden uit de lineaire algebra toepassen om problemen in graffentheorie op te lossen. Eigenwaarden en multipliciteiten zijn hier zeer belangrijk. Voorkennis: Meetkunde en lineaire algebra van 1BA. Referentie: Haemers, Biggs, E. Kuijken.
  7. Deelgroepentralies visualiseren: De bedoeling is om met de computer een programma te schrijven dat "mooie" tekeningen maakt van de deelgroepstructuurvan een gegeven groep. Hierbij kan gebruik gemaakt worden van GAP en XGAP. Voorkennis: graffentheorie, programmeren, groepentheorie. Referentie: GAP manuals.
  8. Meetkundige constructies: Wat kan je juist construeren met passer en liniaal? Kan je een hoek in drie gelijke hoeken verdelen? Wat als je geen liniaal mag gebruiken of geen passer? Kan je dan echt minder? Wat indien de passer verroest is of als je liniaal te kort is? In deze scriptie beantwood je deze vragen en zal je ook kennis maken met de wiskunde die toelaat die antwoorden te bewijzen. Voorkennis: algebra. Referentie: Eves, Martin.
  9. Ontvouwingen: Als je een cubus moet maken uit papier, zal je waarschijnlijk zes vierkanten uitknippen en aan elkaar plakken. Als je zo weinig mogelijk lijm wil gebruiken, ga je de vierkanten zo nemen dat al aan elkaar hangen (i.e. sommige zijden gemeenschappelijk hebben). Zulk een samenhangende verzameling vierkanten die, wanneer je ze juist plooit, een cubus geeft, heet een vlakke ontvouwing van de cubus. Als oefening kan je nagaan dat er voor de cubus 11 niet-isomorfe ontvouwingen zijn. Hoeveel zijn er voor de dodecaëder? Dit zal je onderzoeken in deze scriptie. Voorkennis: graffentheorie en lineaire algebra. Referentie: F. Buekenhout and M. Parker, The number of nets of the regular convex polytopes in dimension <= 4, Discr. Math., 186(1998), 69--94.
  10. Graffen en enkelvoudige groepen: De eindige enkelvoudige groepen werden geclassificeerd rond 1980. Er zijn verschillende oneindige families en juist 26 zogenaamde sporadische enkelvoudige groepen die in geen enkele familie thuishoren. Vele van die sporadische groepen werden ontdekt als automorfismengroep van zeer mooie graffen. In deze scriptie construeer je enkele van die graffen en onderzoek je telkens de groep die erbij hoort. Voorkennis: groepentheorie. Referentie: cours sporadique Buekenhout, ULB, 2003.
  11. De toren van Suzuki: Dit is eigenlijk een speciaal geval van vorige scriptie. Het blijkt dat vier van de sporadische groepen samen horen, alsook hun vier graffen.
  12. Moore graffen en meetkunde: Er bestaat een bovengrens op het aantal toppen van een reguliere graf. Een graf die deze grens bereikt heet een Moore graf. In deze scriptie bewijs je dat de parameters (aantal toppen, graad, diameter) van Moore graffen zeer beperkt zijn. Als je veronderstelt dat de graf niet compleet is en dat de graad minstens drie is, kunnen er slechts drie parameterdrietallen optreden: (10,3,2), (50,7,2) en (3250,57,2). Voor de eerste twee drietallen zijn graffen gekend en verbonden met projectieve meetkunde. Voor het derde weet men niet of er werkelijk zulke graf bestaat. Voorkennis: lineaire algebra, affiene en projectieve meetkunde. Referentie: Godsil--Royle.
  13. Orthogonal arrays: Veronderstel dat je een nieuw toestel moet leveren aan klanten. Het toestel heeft 16 schakelaars met elk twee standen. Eer je levert, wil je de toestellen testen. Normaal gezien zijn er 65536 combinaties van de schakelaars te testen. Dit neemt natuurlijk teveel tijd. Daarom ga je bijvoorbeeld een test ontwikkelen waarbij elk groepje van 3 schakelaars op alle mogelijke 8 manieren wordt getest. Hoe realiseer je zulke test? Het blijkt dat je slechts 17 metingen nodig hebt: alle schakelaars op 0 en dan alle "shifts" van 0000101101110111. Een test van dit soort wordt in de wiskunde gemodelleerd door een orthogonal array. Deze arrays worden overal toegepast in statistiek, meetkunde, communicatie, ...
    Het doel van deze verhandeling is onder andere de studie van orthogonale arrays te met 24 metingen op $k$ schakelaars met twee standen en één schakelaar met drie standen. Men weet niet hoe groot $k$ maximaal kan zijn als je wil dat alle combinaties van elke twee schakelaars evenveel getest worden. De theorie die je bestudeert leert dat $k$ tussen 17 en 20 ligt. Voorkennis: affiene en projectieve meetkunde. Referentie: Hedayat--Sloane--Stufken, Sloane--Stufken.
  14. Prime Power Conjecture : Uit 2BA weten we dat elk axiomatisch projectief vlak een orde heeft (gelijk aan 1 minder dan het aantal punten op een rechte). Voor alle tot nu toe gekende projectieve vlakken is de orde gelijk aan de macht van een priemgetal. Men vermoedt dat dit algemeen waar is. Er zijn de voorbije 80 jaar reeds vele nieuwe technieken ontwikkeld om dit probleem aan te pakken. Onder andere difference sets. In deze scriptie ga je een stukje theorie ontwikkelen om het probleem, via difference sets, te vertalen naar een algebraïsch probleem. Dat reduceer je dan zodat slechts enkele gevallen exhaustief moeten nagekeken worden. Facultatief: als je graag programmeert, kan je dat ook effectief doen. Voorkennis: discrete wiskunde. Referentie: D.M. Gordon, The Prime Power Conjecture is true for n < 2000000. (PDF)
  15. The Aztec Diamond Theorem : Een Aztec Diamond is een ruitvormige figuur die opgebouwd is uit vierkanten. Deze figuur kan ook bedekt worden door domino's. Dat zijn rechthoeken die bestaan uit twee aaneensluitende vierkanten. De vraag die je in deze scriptie beantwoordt is op hoeveel manieren een gegeven Diamond kan bedekt worden met domino's. Voorkennis: lineaire algebra, discrete wiskunde. Referentie: S.-P. Eu and T.-S. Fu, A Simple proof of the Aztec diamond theorem, arXiv:math/0412041v1.

Sommige onderwerpen kunnen uitgebreid worden en dienen voor een masterproject.